Центр ситуационного анализа и прогнозирования ЦЭМИ РАН

Decision Support and Forecasting Center CEMI RAS

Эконометрическая теория и практика

Мониторинг структурных сдвигов

в эконометрических моделях

Задача мониторинга структурных сдвигов в многомерных стохастических системах на основе последовательных наблюдений имеет множество практических приложений, включая задачи обнаружения моментов изменения коэффициентов в системах одновременных эконометрических уравнений, задачи проверки адекватности регрессионных моделей, задачи последовательного диагноза систем в пространстве состояний. Существует обширная статистическая и эконометрическая литература, посвященная методам решения этих задач.

Пейдж (1954) рассмотрел задачу последовательного обнаружения момента изменения одномерной функции распределения последовательности независимых наблюдений и предложил тест кумулятивных сумм (CUSUM), представляющий собой статистику последовательного критерия отношения правдоподобия с отражением в нуле. Гиршик и Рубин (1952) использовали последовательный квази-байесовский тест для решения этой задачи.

В 1959 году Колмогоров и Ширяев предложили формальную постановку задачи "последовательного обнаружения спонтанно возникающих эффектов", которая несколько позже получила название "задачи о разладке" (нормального состояния объекта, технологического процесса и т.д.). В цикле работ 1959-1965 годов Ширяев нашел оптимальное решение этой задачи в ситуации полной априорной информации о функции распределения наблюдений и момента разладки. Оптимальный тест, предложенный Ширяевым, совпадает с квази-байесовским тестом Гиршика-Рубина и сокращенно называется GRSh (Girshik-Rubin-Shiryaev) тестом.

В последующие годы развитие методов последовательного обнаружения разладки шло по пути ослабления априорных предположений о наблюдениях и моменте разладки. В ситуации, когда момент разладки является неизвестной детерминированной величиной, Лорден (1971), Поллак (1985) и Мустакидес (1986) доказали асимптотическую оптимальность тестов CUSUM и GRSh для различных критериев минимизации среднего и условного среднего времени запаздывания в обнаружении разладки при ограничении сверху на среднее время между "ложными тревогами".

Вильский (1976) впервые рассмотрел задачу обнаружения моментов резких структурных сдвигов в стохастических динамических системах. При этом "шумы" в системе предполагались гауссовскими, а под структурными сдвигами понимались спонтанно возникающие аддитивные слагаемые в уравнениях системы. Для обнаружения моментов структурных сдвигов использовался обновляющий процесс фильтра Калмана для рассматриваемой системы. Различные обобщения этой идеи в задачах обнаружения структурных сдвигов в стохастических динамических системах были предложены в работах Basseville, Benveniste (1983), Basseville, Nikiforov (1993), Nikiforov (1995), Bansal, Papantoni-Kazakos (1983).

В работах Лая (1995, 1998) задача последовательного обнаружения моментов структурных сдвигов в многомерных динамических системах была обобщена на случай статистически зависимых наблюдений. Лай рассматривает тесты обобщенного отношения правдоподобия с конечной "памятью" и доказывает их асимптотическую оптимальность в ситуации зависимых наблюдений.

Современные исследования в этой области сконцентрированы на различных обобщениях задачи обнаружения структурных сдвигов: Nikiforov (1995, 1998), Tartakovsky (1998) рассматривают задачи с множественными альтернативами, возникающими после момента разладки. В задачу оптимального теста входит не только скорейшее обнаружение момента разладки, но и оптимальная классификация альтернатив после обнаружения момента разладки.

Несмотря на большой объем литературы по методам обнаружения структурных сдвигов в стохастических динамических системах, существует множество нерешенных открытых проблем в этой области, среди которых отметим проблему априорной информации о наблюдениях и спецификации динамической системы.

Между полюсами "полного знания" (известна как функция распределения наблюдений, так и спецификация динамической системы) и "полного незнания" (неизвестен ни вероятностный закон порождения наблюдений, ни спецификация динамической системы) существует практически значимая область семи-параметрических моделей, когда известна спецификация динамической системы, но функция распределения наблюдений неизвестна. Важнейшие примеры подобных семи-параметрических постановок задачи включают:

модели многофакторной регрессии и систем одновременных уравнений в эконометрике, в которых, как правило, известна спецификация модели (например, линейные регрессионные и авторегрессионные зависимости), но функция распределения последовательностей "шумов" неизвестна. Задача состоит в последовательном обнаружении структурных сдвигов в этих моделях, которые включают как резкие изменения коэффициентов уравнений, так и появление новых элементов спецификации модели (например, новые аддитивные слагаемые в уравнениях);
модели динамических систем "вход-выход" в теории управления. Здесь "передаточная функция" системы известна с точностью до значений ее параметров, однако закон распределения последовательности стохастических "шумов" неизвестен. Задача состоит в последовательном обнаружении спонтанных изменений параметров передаточной функции системы;
модели многофакторных динамических систем в пространстве состояний. Здесь известны уравнения векторных переменных состояния и наблюдений рассматриваемой системы, однако закон распределения стохастических шумов неизвестен. Дополнительная сложность состоит в последовательном обнаружении структурных сдвигов в уравнениях для вектора состояния и наблюдений этой системы. При этом метод оценивания может использовать только наблюдаемые переменные системы.

Задачи мониторинга структурных сдвигов в эконометрических моделях стали анализироваться в конце 1990-х годов. Chu, Stinchcombe, White (1996) впервые рассмотрели задачу последовательного обнаружения структурных сдвигов в модели многофакторной линейной регрессии. Для обнаружения структурных сдвигов использовалась последовательная версия флуктуационного теста Плобергера (1988). Модификации последовательных тестов кумулятивных сумм регрессионных остатков для обнаружения структурных сдвигов были предложены в работе Leisch, Hornik, Kuan (2000). Обобщение этих результатов для регрессионных моделей со стационарными стохастическим предикторами было предложено в работе Horvath, Huskova, Kokoszka, Steinebach (2004). Динамические регрессионные модели со структурными сдвигами были рассмотрены в работе Zeileis, Leisch, Kleiber, Hornik (2005).

Недостатком этих работ является то обстоятельство, что качество тестов анализируется исключительно с точки зрения предельных распределений предложенных статистик. При этом свойства методов для конечных выборок исследуется, в основном, эмпирически. Вместе с тем, анализ свойств методов для конечных выборок данных является чрезвычайно актуальной практической задачей. Другим недостатком существующих методов обнаружения структурных сдвигов в эконометрических моделях является полное отсутствие исследований оптимальности и асимптотической оптимальности этих методов. По сути дела, на разработаны методологические подходы к исследованию свойств оптимальности методов и их сравнительному анализу, что существенно затрудняет использование этих методов в практике эконометрического анализа.

Рассмотрим характерную практическую задачу, в которой эти проблемы приобретают особую остроту. При эксплуатации прикладных эконометрических моделей на длительных периодах часто возникает вопрос об адекватности модели, т.е. ее статистического соответствия текущей информации о наблюдаемом процессе (объекте, явлении). Другими словами, свойства экономического объекта могут спонтанно измениться, однако исследователь продолжает использовать прежнюю модель, не подозревая о ее неадекватности изменившемуся объекту. Это приводит к резкому ухудшению качества прогнозов, получаемых с использованием модели.

Для диагностики адекватности модели, в принципе, должны использоваться методы мониторинга структурных сдвигов в эконометрических моделях. Однако практическое использование этих методов сопряжено с выбором их ключевых параметров: порогов решающих статистик, размера "окна" наблюдений и др. Эти параметры существенно зависят от объема выборки данных, на которой они были откалиброваны. Другая сложность состоит в том, что разные методы мониторинга структурных сдвигов требуют различной настройки параметров и далеко не всегда ясно, как наилучшим образом подобрать метод мониторинга для конкретной задачи.

В статье предложен новый метод мониторинга структурных сдвигов в эконометрических моделях, который позволяет эффективно решать эти задачи. При этом характеристики качества предложенного метода исследуются для конечных объемов выборок данных. Получены теоретико-информационные нижние границы для характеристик качества методов мониторинга структурных сдвигов, которые позволяют проводить сравнительный анализ различных методов и доказывать асимптотическую оптимальность. Проведено экспериментальное исследование свойств предложенного метода для сгенерированных моделей линейной регрессии, систем одновременных эконометрических уравнений, моделей в пространстве состояний, а также для реальной эконометрической модели инфляции в России в 1994-2005 годов.

загрузить статью в формате pdf :

русская версия

английская версия

назад

Контакты:

ЦЭМИ РАН 117418, Москва, Нахимовский проспект, 47, комната 1110